Aunque se cifra el comienzo de la ciencia moderna en el SXVII con Galileo y Newton (en 1642 muere el uno y nace el otro), y aunque, no se puede despreciar el acerbo científico de los antiguos, es con Euclides que nace el sistema científico de lenguaje específico, axiomas intuitivos, reglas de inferencia y teoremas. Desarrollada en 310 ADC -entre Platón y Aristóteles- es considerada por Penrose como una soberbia teoría física (y no matemática como la consideramos habitualmente). “… describe con gran exactitud el espacio físico del mundo en que vivimos, pero no es una necesidad lógica; es solo una característica (aproximadamente exacta) observada del mundo físico” (Penrose 1991, 204). Así considerada es una teoría científica más que filosófica. El modelo geométrico de Euclides no solo describe el espacio-tiempo físico en el que se desarrolla la física clásica, sino que es la puerta hacia nuevas geometrías y dimensiones que permitirán el desarrollo de la física relativista (el espacio tiempo curvo) y la mecánica cuántica (la gravedad cuántica en la distancia y el tiempo de Plank). 

El lenguaje específico es sustancial a la ciencia. Los matemáticos sumerios no fueron capaces de desarrollar uno y se quedaron en aquellas matemáticas ingenuas -en lenguaje natural- tan difíciles de entender… lo que “a contrario” justifica la existencia de un lenguaje específico: ¡había que simplificar! El modelo había sido perfeccionado por el lenguaje común: partición de lo sensible, diferenciación, conceptuación (definición), abstracción, etc. Solo faltaba especializarlo y eso hizo Euclides. ¿Cuál es la diferencia entre el lenguaje euclídeo y el formalismo de Hilbert? En ambos la secuencia “língüística” es exactamente igual: unos elementos que representan la realidad (palabras); unas operaciones (sintaxis) a realizar con ellos, un método deductivo formal (gramática) y unas conclusiones (efectos o teoremas). Tal y como había evolucionado el lenguaje de las imágenes (pensamiento imaginario) a las palabras (pensamiento simbólico), evolucionan las matemáticas: de las figuras geométricas a la cantidad, al número. Esa es la diferencia: la geometría trata con imágenes y la aritmética trata con números. Entre ambos enfoques: el imaginario (figuras) y el simbólico (cantidades) se sitúan las matemáticas ingenuas de los sumerios: la matemática operada con el lenguaje común: un galimatías.

Las abstracciones con las que se atrevió no son menores: puntos adimensionales, rectas infinitas formadas con puntos… Los infinitos (cantidades no conmensurables) hacen su aparición en las matemáticas para quedarse. La agrimensura -en la que se origina la geometría pierde su referente práctico para adentrarse en una abstracción perfecta. No olvidemos que para los griegos la geometría (los cuerpos del mundo) son anteriores a la aritmética (su conceptuación en números). No estamos todavía en la abstracción de la cantidad sino en relaciones de comparación -razones- entre distintas figuras, y en las que la construcción dibujada (la imagen) es tan importante como las relaciones  inducidas. Veinte y ocho  siglos después la geometría euclídea se sigue enseñando en las escuelas. No podemos perder de vista que -más que una necesidad lógica- fue un hecho de observación empírico en el que el más refinado aparato deductivo se aplicaba como en la filosofía más estricta. Fue -avant la lettre- razonamiento y experiencia, teoría y praxis, y sobre todo modelo de desarrollo científico para muchas otras empresas. El modelo sistemático de lenguaje/axiomas/reglas de inferencia (es decir la sistemática) es el mismo que utilizará Hilbert en 1900 para afrontar el problema de la computabilidad: ¿existe un algoritmo (formal) para resolver cada uno de los problemas de las matemáticas? Como veremos Gödel demostraría que no. Entiendo por computabilidad la posibilidad de resolver un problema por un procedimiento mecánico (realizado por una máquina) o algorítmico (como una sucesión de instrucciones precisas).

A este lenguaje específico perfectamente conceptuado, abstraído, diferenciado, se añadieron las intuiciones axiomáticas (autoevidentes) y las reglas de inferencia (lógicas) que permitieron extraer los teoremas y consecuencias que cualquier teoría hoy utiliza como indispensables. Se trataba de operar en la mente lo que previamente se había abstraído de lo real. Realiza el ideal platónico a la perfección, abstrayendo la realidad (puntos, rectas, planos, figuras…) y operándola en la mente (y en el grafo) hasta encontrar los resultados perseguidos. Y finalmente la aplicación a la realidad. La separación mente-realidad platónica cobra así su expresión más eficiente. 

Es difícil entender hoy, tras siglos de aplicación concienzuda, la revolución que supuso su aparición y sus consecuencias. El teorema de las paralelas volvió locos a matemáticos posteriores hasta desembocar en el desarrollo de las geometrías no euclídeas revolucionando  así la comprensión de las matemáticas que despegaban de la realidad para independizarse como disciplina autónoma. Su aportación a la sistemática es asombrosa. En la geometría de Euclides está implícita una epistemología, una ciencia de la ciencia, que hoy en día sigue siendo válida. Su abstracción fundamental: la adimensionalidad de sus elementos sigue siendo la base (y el dolor) de muchos desarrollos como la aparición de infinitos desbocados y su escasamente elegante “renormalización”. El mismo sistema para dos maneras de abstraer la realidad: la imagen y el símbolo, la figura geométrica y el número.

Penrose (1991, 207) advierte que la introducción de los números, la cantidad, es ya un hecho en la geometría (se miden ángulos y distancias). El paso que no se da es el de situarlos en la posición principal del sistema matemático (Análisis), lo que ocurriría -de la mano de Eudoxo y Pitágoras ante la evidencia de que la diagonal del cuadrado era inconmensurable con su “figura”. La cantidad llega más lejos que las figuras geométricas (tiene una expresión decimal infinita para un segmento finito) y por tanto debe ser anterior en el contexto de la justificación. Como veremos la expresión decimal (el producto de la división de la razón entre dos segmentos proporcionales) “esconde” información en su afán de simplificación. Lo que con “razones” se expresa como tres partes de cinco (3/5) se “reduce” a 0,66 perdiéndose el referente del que la parte proviene. Simplificación/desinformación: ¡he ahí el dilema!

Reside aquí el problema de lo absoluto/relativo. La “razón” se expresa como relatividad mientras la expresión decimal lo hace como absoluto. La transformación de lo relativo en absoluto (una oferta “dos por uno”) se extiende por el saber matemático. La figura del “equivalente universal” lo concreto que puede representar a lo abstracto, (y el consiguiente problema de los universales) lo invade todo. El espacio y el tiempo no serán una excepción y la comparación (“razón”) entre dos espacios o tiempos tiende a expresarse como un absoluto (lo que mide el reloj o el metro (de medir)… omitiendo la comparación tácita. Ni el espacio ni el tiempo absolutos son intuiciones elementales. “Que hora es” es un absoluto, del ser, y no una comparación del cambio. Será Newton el que las impondrá en el pensamiento de su época.  Descartes plasmará definitivamente la equivalencia entre coordenadas (cantidades) y puntos del espacio (figuras) dando lugar a la geometría analítica. La imagen quedaba definitivamente superada. Ser/cambio, real/mental, universal/particular, absoluto/relativo, presencia/representación, diferenciación/integración, espacio/tiempo, todos los grandes problemas del pensamiento están ya aquí. 

Euclides comprendió el espacio y el tiempo como los escenarios en los que se reproduce la realidad. Como el contexto en el que se desarrolla la geometría. No se puede dibujar utilizando el color del fondo. Es necesario distinguir, contextuar, referir. Y aquí nos encontramos de nuevo con la relatividad: la geometría se produce en relación a un escenario estático que es el espacio-tiempo. Costará tiempo y esfuerzo convencerse de que “todo es relativo” (cuya paradoja implícita, discutiremos) no solo la geometría frente al espacio-tiempo sino el espacio-tiempo respecto a la geometría. Y -aún más- el espacio respecto al tiempo. No había otra manera de afrontar la complejidad del mundo sino simplificándolo drásticamente y en eso consistió el establecimiento de la geometría sobre un telón de fondo estático. El ser se imponía al cambio, lo estático a lo dinámico. Como la ciencia ha hecho siempre se debía avanzar poco a poco, sin tratar de resolver todos los problemas de una vez (defecto en el que cae a menudo la filosofía). Los problemas se abordarían cuando los conocimientos producidos por esas simplificaciones permitieran revisitarlos. Y a ese procedimiento se le llamará recursión. 

Lo importante (para una visión panorámica) es comprender que la geometría/imagen es un pensamiento imaginario relacional frente, al número/la cantidad que es un pensamiento simbólico de expresión absoluta. Y -por supuesto- que la transición es fluída: no se puede determinar un punto en el que efectivamente se produce la emancipación. Tampoco es ociosos plantear que el lenguaje matemático opera con absoluta paridad a la forma en la que el lenguaje común se había desarrollado. Como montar en bicicleta, requiere un sobre-esfuerzo inicial que se compensará después por una aplicabilidad mucho más fluida. El lenguaje matemático no es el enemigo, es una ayuda inapreciable. Otra cosa es que no se haya sabido motivar a los que podrían beneficiarse de su uso. O su uso como lenguaje críptico gremial excluyente. Cuando hablemos de la computabilidad de Hilbert ahondaremos en la cuestión del lenguaje.

El desgarrado. Junio 2025.