5.1. Las limitaciones de la lógica tradicional. La lógica tradicional no trató la capacidad normativa de las estructuras con suficiente generalidad ni emprendió el estudio de todas las estructuras formales posibles. Porque la lógica no solo aspira a descubrir la estructura de las proposiciones y su relaciones objetivas sino también a ser usada como instrumento para guiar y someter a prueba las inferencias. La lógica tradicional no estuvo a la altura de la tarea que se fijó. Los mayores reparos que pueden presentarse se relacionan más bien con lo que se ha dejado de hacer: 1) la estructura de sujeto predicado y cópula no observó que puede encubrir proposiciones de tipos muy diferentes, 2) no se destacaron suficientemente las propiedades lógicas de la cópula sobre las que reposa la validez de una inferencia, 3) no se pudo elaborar una teoría más general de la inferencia y un cálculo más satisfactorio del razonamiento que el silogismo, 4) se descuidó la teoría de las proposiciones compuestas, 5) y no se consideró de modo explícito el importante problema del contenido existencial de las proposiciones, 6) no se exploraron los principios lógicos en forma sistemática por lo que se careció de un método de obtención de todas las proposiciones que es posible afirmar. De todas estas limitaciones podemos inferir qué es lo que debe incluir un programa de estudios lógicos completo. 

Hubo diversos intentos a través de la historia: la lógica de Port Royal y los estudios de Leibnitz, pero no fue hasta la mitad del siglo XIX, con las aportaciones de Bool y De Morgan, que se inició una lógica moderna con la teoría de la relaciones, el establecimiento de las convenciones simbólicas y la aplicación de los métodos matemáticos, que no solo resultaron aplicables al estudio de las cantidades sino a cualquier otro ámbito ordenado y en particular a la relaciones entre clases y entre proposiciones. El estudio de la lógica se convirtió en el estudio de tipos de orden. Frege, Russell, Peirce, Peano… son algunos de los nombres de esta nueva ciencia. La gran influencia de las matemáticas fue el estudio de la relación en el estudio de la estructura proposicional. Se dice que un objeto está en relación si en nuestro enunciado acerca de él debe hacerse referencia explícita a otro objeto. Esta relación es diadica (entre dos) aunque puede ser poliádica (de tres o más relaciones). El concepto de relación reemplaza al de cópula de la lógica tradicional. Veamos algunas de estas relaciones diádicas:

5.2. Tipos de relaciones diádicas. 

Simetría. Si Napoleón es el marido de Josefina, "ser marido de" es la relación entre el referente (Napoleón) y el relatum (Josefina). “Ser la esposa de” es la relación conversa de la primera. Cuando la relación entre Napoleón y Josefina es distinta de la relación entre Josefina y Napoleón, se llama asimétrica.“Tener la misma edad que" es una relación simétrica. Las relaciones que a veces son simétricas y a veces no (por ejemplo amar), se denominan no-simétricas.

Transitividad, Si A es el padre de B y B es el padre de C, entonces A no es el padre de C.  La relación “ser el padre de” se llama intransitiva. La relación “Mayor que” es transitiva. La relación “ser amigo de" se dice que es no-transitiva. Las diferencias basadas en la simetría y la transitividad son independientes, obteniéndose así alguno de las nueve tipos siguientes de relaciones,: 1) transitiva y simétrica: “tener la misma edad que”; 2) transitiva y asimétrica : ” antepasado de” ; 3) transitiva y no-simétrica; “no mayor que” 4) intransitiva y simétrica “esposo de”; 5) intransitiva y asimétrica: “padre de"; 6) intransitiva y no-simétrica: “el más cercano pariente consanguíneo de”; 7) no-transitiva y simétrica “primo de”; 8) no- transitiva y asimétrica: “patrón de"; 9) no-transitiva no-simétrica: “amar a”. 

Correlación. Atiende al número de objetos con los cuales puedan estar conectados el referente o el relato por la relación dada: la relación de "acreedor de"  puede darse entre uno y muchos, entre muchos y uno, y entre muchos y muchos, además de entre uno y uno a la que se llama biunívoca. 

Conexión. Depende de que exista o no una relación entre todo par de una colección. La relación "mayor que”, entre dos números enteros cualesquiera, es  runa relación conexa.

5.3. Las propiedades lógicas de la relaciones en algunas inferencias comunes. 

1) La inferencia: conversión de proposiciones categóricas, depende de la simetría o no-simetría de la relación de inclusión (o exclusión) de clases.

2) La validez de los silogismos categóricos depende de la transitividad de la relación de inclusión de clases.

3) Los silogismos llamados relacionales dependen de la transitividad de las relaciones.

4) El sorites, depende de la transitividad de la relación de inclusión de clases.

5) Cada una de las tres proposiciones  del silogismo hipotético denuncia una implicación que es transitiva. 

5.4. Lenguaje simbólico. “El estudio de las propiedades lógicas de la relaciones es la vía de acceso al estudio sistemático de inferencias más complejas. Sin embargo, no es posible analizar con cuidado las formas de dichas inferencias sin introducir un simbolismo elaborado con este fin. Dada la importancia de tales símbolos especiales en el estudio de la lógica, esta última ha sido llamada también lógica simbólica o matemática” (Cohen y Nagel 2006, 141). Podemos empezar por los caracteres genéricos del lenguaje que se diferencian entre dos aspectos: se emplean en ellos diferentes elementos fonéticos e ideográficos y los elementos fonéticos y gráficos fijos expresan diferentes grupos de ideas. El lenguaje pretende expresar y comunicar experiencias que abarcan una gama ilimitada, empleando solo un número finito de elementos lingüísticos fundamentales, a los que denomina “temas de palabras”. Las expresiones sensoriales y los estados emocionales se agrupan, y estos grupos indican la presencia de un gran número de características comunes a cada grupo. Se observa además entre ellos varios tipos de relaciones. La índole de los agrupamientos dependerá de los intereses de quienes usan el lenguaje y del asunto que sea necesario tratar. Todo lenguaje simbólico, toda comunicación y toda investigación debe realizarse por medio de palabras. Las palabras no son ideas:  las significan o representan. Los equipamientos de experiencias del lenguaje no están generalmente delimitados de manera precisa. Lucen una cierta vaguedad. Este margen de incertidumbre se aprecia incluso en los lenguajes científicos. Los ‘temas de palabras’ son limitados mientras que el de las variedades de la experiencia resultan ilimitados. Para  avanzar por ello se hace necesario combinar los temas de palabras. Éstos modos de combinación constituyen los elementos formales del lenguaje. Los lenguajes comunes se han desarrollado como respuesta a necesidades prácticas. Tienen, en su mayor parte, un carácter emotivo o ceremonial. Esta resonancia emocionales producen deformaciones que es necesario evitar. Por ello la formulación de un simbolismo ex profeso es imprescindible.

El lenguaje está vivo y las palabras cambian de significado, fundamentalmente de dos maneras.1) La primera es la generalización las palabras tienden a denotar una clase más extensa de objetos que a la que originalmente se refieren. La palabra papel significaba originalmente papi; la palabra número solo se notaba los enteros para acabar incluyendo todo tipo de guarismo matemático. 2) La otra es la especialización. Las palabras restringen su significado a dominios más pequeños. Cirujano era una persona que trabaja con sus manos; gobernador era el timonel de un barco. 

Veamos las ventajas de un simbolismo específico. 1) En primer lugar se trata de disminuir la ambigüedad. Para ello se debe utilizar un símbolo diferente para cada noción distinta. 2) En segundo lugar un símbolo conveniente permite que uno se concentre en lo esencial de un contexto dado. 3) En tercer lugar los símbolos permiten poner de manifiesto de manera clara y concisa la forma de las proposiciones. Las matemáticas ingenuas de los mesopotámícos nos muestran hasta qué punto el enunciado verbal de un problema puede convertirse en un trabalenguas. Así se deslinda, qué es constante o invariable y qué es lo variable. 4) Una cuarta ventaja es la economía de trabajo y pensamiento. Facilita la mecanización, sugiere conclusiones y sorprende por su capacidad para funcionar como un sistema de cálculo.

5.5. El cálculo de clases. La conjunción de un simbolismo adecuado y el descubrimiento de las propiedades formales de la relaciones permiten generalizar la lógica tradicional y crear un sistema de cálculo poderoso. Por ejemplo las operaciones de las ciencias matemáticas pueden concebirse en términos de relaciones. La relación a + b = c es una relación triádica que vincula a los tres términos. Es una relación de muchos a uno, pues una misma suma puede ser formada por infinito sumando distintos. 

5.5.1. Tipos de clases. Pero no solo se pueden establecer operaciones entre elementos cuantitativos, sino que se pueden ampliar a elementos no cuantitativos para combinar clases: la teoría general de clases y proposiciones. Es preciso recordar que la teoría de clases fue, históricamente, la primera en desarrollarse aunque no es anterior desde el punto de vista del desarrollo lógico de la teoría. Reichenbach llamó a estos dos desarrollos el contexto del descubrimiento y el contexto de la justificación. No es necesario, pedagógicamente, respetar uno u otro de ambos desarrollos. 

Entendemos por clase un grupo de individuos que tienen ciertas propiedades por las cuales se los identifica como miembros de ella. Pueden determinarse intensionalmente (por la coincidencia de unos atributos) o extensivamente (por la enumeración de sus componentes. El dominio de las clases posibles se ha llamado universo del discurso y los simbolizaremos por 1. Lo que está incluido en la clase y lo que está excluido de ella forman el total del universo. Las Clases  pueden no tener miembros, aunque se haya definido un atributo de pertenencia a ella: es la clase vacía, clase nula, o clase cero. Existen tres tipos posibles de operaciones con clases: 1) Negativa o complementaria. Los individuos que son miembros del universo, pero no de la clase “varones”, pertenecen a la negativa de la clase “varones”. Una clase y su negativa son mutuamente excluyentes y agotan el universo: a  + â = 1 (â se lee no-a). 2) si consideramos las clases “libros ingleses” y “libros franceses” la clase que contiene libros franceses o libros ingleses es la suma lógica de aquellas y se llama adición lógica, y que se lee: a + b ó a o b. La alternación no es disyuntiva. 3) supongamos que deseamos tomar a los miembros de dos clases distintas para formar una clase única que reúna las características de ambas. Tal operación es la multiplicación lógica y su resultado, el producto lógico de las clases. Sí a y b son clases, se simboliza su producto por a X b ó a.b. Ya podemos abordar el concepto de clase nula: cuando de la multiplicación lógica resulta una clase producto que no tiene miembros. 

5.5.2. Sistema de cálculo de clases. Se trata, ahora,  de crear un sistema de cálculo y para ello debemos simbolizar también la relaciones entre clases. “La diferencia entre operaciones con clases y relaciones entre clases es que las primeras dan como resultado clases, mientras que toda afirmación de relaciones entre clases es una proposición” (Cohen y Nagel 2006, 147). La relación fundamental entre clases es la de inclusión: una clase está incluida en otra si todo miembro de la primera es miembro de la segunda. Sí a y b son clases, simbolizaremos la proposición “a está incluida en b” por : a < b. Podemos definir la igualdad de clases en términos de inclusión mutua. La clase ‘a’ es igual ‘b’ si ‘a’  está incluida en ‘b’, y ‘b’ está incluida en ‘a’; en otras palabras si tienen los mismos miembros. En símbolos (a=b) ≡ (a<b) . (b<a).

5.5.3. Principios del cálculo de clases. Los principios definen la naturaleza de las operaciones y relaciones entre clases:

1. principio de identidad: toda clase está incluida en sí misma: a = a.
2. Principio de contradicción: a.â =0. No hay nada que sea al mismo tiempo miembro de a y de no-a.
3. Principio del tercero excluido: a+â = 1. Todo individuo del universo es miembro de a o de no-a. 
4. Principios de conmutación: a.b=b.a ; a+b=b+a. Irrelevancia del orden de la operación.
5. Principio de asociación: (a.b) . c = a . (b.c) ; (a+b) + c= a + (b+c)=a + (b+c). 
6. Principio de distribución: (a+b) . c = a.c+b.c ; a . b+c=(a+c) . (b+c). El primero refleja la propiedad distributiva de la suma respecto a la multiplicación de los números (álgebra corriente). El segundo, en cambio, introduce una significativa diferencia entre el álgebra de clases y el álgebra corriente. 
7. Principio de tautología: a.a=a ; a+a=a. Nada que ver con el álgebra corriente.
8. Principio de absorción: a + a.b=a ; a . (a+b) = a.
9. Principios de simplificación: a.b<a; a<a+b. De aquí se sigue que la clase cero está incluida en toda clase (0<a) y que toda clase está incluida en el universo (a<1).
10. Principios de composición: ((a<b) . (c<d)) ⊃ (a.c<b.d); ((a<b).(c<d)) ⊃ ((a+c) < (b+d) que se lee: si a está incluido en b y c está incluido en d, entonces: a multiplicado por c está incluido en b multiplicado por d. Si a está incluido en b y c está incluido en d, entonces a+c está incluido en b+d.
11. Principio de silogismo: ((a<b) . (b<c) ⊃ (a<c) que se lee: si a está incluida en b,t b está incluida en c, entonces a está incluida en c. La relación 'incluida en‘ es transitiva.

5.5.4. La representación simbólica de las proposiciones categóricas tradicionales. 

A: universal afirmativa: todos los a son b: (a<b). Se demuestra más que (a.(no-b))=0 y así (a<b) ≡ (a.(no-b))=0).

E: universal negativa: ningún a es b: equivalente a: todos los a son no-b: ((a<(no-b)). Equivalente a: (a.b=0). y así: (a<(no-b)) ≡ (a.b=0).

I: particular afirmativa: puesto que las proposiciones particulares son las contradictorias de las universales, las primeras niegan lo que las segundas afirman. Luego, algunos a son b, niega ningún a es b (simbólicamente (a<(no-b)), y se le puede representar por (a<(no-b))’ o por (a.b ≠ 0).

O: particular negativa: algunos a no son b, debe contradecir (a<b). Se la puede representar por (a<b)’ o por (a.(no-b) ≠ 0).

5.6. Cálculo de proposiciones. Tiene una estructura formal idéntica a la del cálculo de clases y toda proposición de la teoría de clases tiene en la teoría de proposiciones su proposición correspondiente. Las equivalencias entre una y otra son:

Clases (a, b, c…) ≡ proposiciones (p, q, r…).

Negativa de la clase ≡ contradictoria de la+ proposición

Suma lógica de dos clases ≡ suma lógica de dos proposiciones

Producto lógico de dos clases ≡ producto lógico de dos proposiciones.

a < b: incluido en ≡ p ⊃ q: implica. . Clase 0 que no tiene miembros ≡ proposición falsa. Clase 1 que contiene a todas las clases ≡ proposición verdadera.

Sin embargo este enfoque de la teoría de proposiciones tiene varios inconvenientes: 1) varios teoremas que son verdaderos en las proposiciones son falsos en las clases. 2) es imposible enumerar todos los principios de inferencia empleados en el cálculo de proposiciones partiendo del cálculo de clases. 3) En el cálculo de clases, èstas se interpretan extensivamente. En el cálculo de proposiciones, las proposiciones solo se consideran con respecto a sus valores de verdad y no al significado específico de lo que afirman. 4) la definición de implicación debe definirse de forma distinta en clases y en proposiciones.

El desgarrado. Agosto 2024.