Pero no todas las relaciones son distintas: la relación “independiente” se repite tres veces: 1+4, 2+5, 3+6. Las otras relaciones son: equivalente (1+5), superimplicación (1+6), contradictoria (2+4), contraria (2+6), subcontraria (3+4), subimplicación (3+5). Toda esta entrega se refiere a estas relaciones. Veámoslas con detalle:

Independientes: (1+4) si p es verdadera, q es verdadera + si p es falsa q es verdadera. Son independientes pues p no determina q. (2+5) si p es verdadera q es falsa + si p es falsa q es verdadera. Son independientes pues q no determina p. (3+6) si p es verdadera q es indeterminada + si p es falsa q es indeterminada. Son independientes pues p no determina q. 

Equivalente: (1+5) si p es verdadera q es verdadera + si p es falsa q es falsa. Son equivalentes porque q coincide con el valor de p.

Superimplicada. Relación de superalterna (principal) a subalterna : (1+6) si p es verdadera q es verdadera + si p es falsa q es indeterminada. 

Contradictoria: (2+4) si p es verdadera q es falsa + s p es falsa q es verdadera.

Contraria: (2+6) si p es verdadera q es falsa + si p es falsa q es indeterminada. No pueden ser ambas verdaderas pero pueden ser ambas falsas.

Subcontraria (3+4) si p es verdadera q es indeterminada + si p es falsa q es verdadera. No puede ser ambas falsas pero pueden ser ambas verdaderas.

Subimplicación. De subalterna a principal (3+5) si p es verdadera q es indeterminada si p es falsa q es falsa. Veamos las más de cerca

Éstos son los tipos fundamentales de relaciones lógicas entre proposiciones. Veámoslas en detalle.

3.2.1. Independientes. El valor de verdad de una de ellas no determina o limita de ninguna manera el valor de verdad de la otra.

3.2.2. Equivalentes. Si una de ellas es verdadera o falsa la otra también lo es. Aunque sujeto y predicado tienen el mismo valor de verdad el sujeto de la primera es el predicado de la segunda, es decir la segunda proposición es la conversa de la primera.

3.2.2.1. Análisis tradicional. ¿Ocurre lo mismo con otras proposiciones categóricas? No, porque el predicado de la primera no está distribuido mientras que en la conversa si lo está. Se trata de un principio general: en las inferencias derivadas de proposiciones categóricas, la conclusión no puede tener ningún término distribuido que no lo esté al menos en una de las premisas. 

3.2.2.1.1. Conversión. Una proposición solo puede ser “convertida” si se modifica su cantidad: de “todos los calvos son hombres sensibles” solo podemos inferir que algunos hombres sensibles son calvos. La conversa de una proposición A (Universal afirmativa) Puede considerarse la conversa de sus subalterna. Aquí se evidencia la importancia de la distribución de los términos. 

3.2.2.1.2. Obversión. Cuando los sujetos de las proposiciones son los mismos pero el predicado de una es la negación o el contradictorio del de la otra y la calidad de las proposiciones es diferente la inferencia se llama inversión. “todos los empleados son bien recibidos” y ”ningún empleado es mal recibido”. Hay que tener cuidado con el término “contradictorio” (exhaustivo y excluyente) y el término “contrario” (excluyente). Cada una de las cuatro proposiciones categóricas pueden ser invertidas sin limitación

3.2.2.1.3. Contraposición. El juego de las afirmaciones y negaciones puede ser muy complicado “todas las peticiones razonables son examinadas" involucra tres elementos que pueden ser contradichos. “Ninguna cosa no-examinada es una petición razonable”, “todas las cosas no-examinadas son peticiones razonables”. De las cuatro proposiciones categóricas (A, E, I, O) podemos obtener 2) las obversas, 3) las conversas y 4) las obversas de las conversas. A su vez, las conversas, son las contraposiciones parciales (el sujeto es el contradictorio del predicado original, mientras que el predicado es el sujeto original) de las categóricas. 2) Las obversas de las conversas son también las contrapositivas totales (el sujeto es el contradictorio del predicador original,  el predicado es el contradictorio del sujeto original) de las categóricas. La proposición I no tiene contrapositiva total y la E tiene una limitación (debe  modificarse la cantidad).

3.2.2.1.4. Conversa obvertida. Hemos realizando una serie de obversiones y conversiones, en este orden, con las cuatro proposiciones categóricas (A, E, I, O) para obtener proposiciones equivalentes. Obtendremos un conjunto diferente de proposiciones equivalentes si primero convertimos una proposición dada y luego obvertimos el resultado. Las proposiciones E, I tienen una conversa obvertida sin limitación, la proposición A una conversa obvertida limitada, y la O

no tiene conversa obvertida.

3.2.2.1.5. Inversión. ¿Tiene cada forma de proposición categórica una inversa? Si seguimos el método de las conversiones y obversiones sucesivas, aplicadas a la proposición A, de “ningún profesor es descortes” obtendremos “algunos no-profesores son descorteses” (la inversa parcial) y “algunos no profesores no son corteses” (la inversa total). Pero de una proposición I u O no puede obtenerse inversa alguna. Por consiguiente, solo las proposiciones universales tienen inversas, y en todos los casos la inversión es por limitación. El proceso de inversión puede conducir a resultados absurdos.

3.2.2.2. Proposiciones simples. Inferencia por relación conversa. “Si Chicago está al oeste de Nueva York, podemos inferir válidamente que Nueva York está al este de Chicago; si Sócrates fue maestro de platón, podemos inferir que platón fue discípulo de Sócrates; si es mayor que cinco, podemos inferir que cinco es menor que siete. En cada uno de estos casos ambas proposiciones son equivalentes tales inferencias tienen la siguiente forma: Si A tiene con B una cierta relación, B tiene con  A la relación conversa “ (Cohen y Nagel 2006, 82).

3.2.2.3. Proposiciones compuestas. Veamos las formas equivalentes de las proposiciones compuestas: hipotéticas, alternativas, conjunción, disyunción.

3.2.2.3.1.Conjunción y disyunción. “Si un triángulo es isósceles, los ángulos de su base son iguales”. La verdad del antecedente supone la del consecuente o también, no puede ser el antecedente verdadero y el consecuente falso. La proposición hipotética es equivalente a una conjunción: “un triángulo es isósceles y los ángulos de su base son desiguales” es falsa. O lo que es lo mismo la disyunción: “no se da el caso de que un triángulo sea isósceles y los ángulos de su base sean desiguales” es verdadera. De una proposición hipotética podemos inferir una disyunción. También es cierto lo contrario: podemos inferir la proposición hipotética de la disyunción. Es posible, pues, hallar una disyunción equivalente a una proposición hipotética. Cada una de estas proposiciones hipotéticas equivalentes es la contrapositiva de la otra. 

3.2.2.3.2 Alternativas. Tomemos la proposición alternativa: “O un triángulo no es isósceles o los ángulos de su base son iguales”. Se afirma que al menos una de las alternantes es verdadera y podemos inferir la siguiente proposición hipotética: “Si un  triángulo es isósceles, los ángulos de su base son iguales”, y por otra parte también puede inferirse la alternativa de esta última que es equivalente a: "No se da al caso de que un triángulo sea isósceles y los ángulos de su base sean desiguales”, en la cual por lo menos una de las disyuntivas debe ser falsa. 3.2.2.3.3. Conclusión. Podemos pues inferir qué "O un triángulo no es isósceles, o los ángulos de su base son iguales”. Se sigue de esto que para cada proposición hipotética existe una proposición alternativa equivalente, una disyunción equivalente y una proposición hipotética equivalente. Lo mismo es válido para toda proposición alternativa y toda disyunción. En cambio una conjunción no es equivalente a ninguna de las otras tres formas de proposiciones compuestas. Veamos un ejemplo: las equivalentes de "Si es feliz en su matrimonio, no pega a su mujer" serían: "si pega a su mujer, no es feliz en su matrimonio”; "O no es feliz en su matrimonio o no pega su mujer"; y "No se da el caso de que sea feliz en su matrimonio y pegue a su mujer”. Está claro que a la hora de poner ejemplos políticamente correctos hemos avanzado mucho. En símbolos:

(p ⊃ q) ≡ (q’ ⊃ p’) ≡ (p’ ⋁ q) ≡ (p . q’)

3.2.3. Oposición. Las restantes relaciones: superinplicación, contradictoria, contraria, subcontraria y subimplicada se recogen bajo el epígrafe de la oposición.

3.2.3.1. Análisis tradicional. La lógica tradicional no recogía la oposición de manera tan general, a como la vamos a ver, ya que -al solo recoger las categóricas (sujeto, predicado y cópula)- solo se analizaron las que presentaban esta forma (lógica proposicional). No se analizaron pues, las proposiciones compuestas, y de forma muy defectuosa las singulares. Repasemos pues el análisis tradicional. Dos proposiciones son opuestas cuando tienen el mismo sujeto y el mismo predicado, pero difieren en cantidad, en calidad, o en cantidad y calidad a la vez. Consideremos las cuatro proposiciones categóricas (A, E, I, O): 

Todas las repúblicas son ingratas

Ninguna república es ingrata

Algunas repúblicas son ingratas

Algunas repúblicas no son ingratas.

Recordemos que las proposiciones universales no exigen la existencia (de repúblicas), mientras que las particulares sí. Establezcamos la hipótesis y analicemos las consecuencias. Podemos identificar las cinco relaciones de oposición del siguiente modo: 1) todas la repúblicas son ingratas (A) y algunas repúblicas no son ingratas (O), si una de ellas es verdadera la otra es falsa y viceversa por consiguiente son contradictorias). 2) Todas las repúblicas son ingratas y ninguna república es ingrata, no pueden ser ambas verdaderas. La verdad de la una implica la falsedad de la otra. Son contrarias. 3) Todas las repúblicas son  ingratas y algunas repúblicas son ingratas, la verdad de la segunda puede ser inferida de la primera, pero si la primera es falsa, nada se infiere acerca del valor de verdad la segunda. Luego la proposición A es la principal o súperalterna de la proposición I que es su subalterna. La misma relación entre las proposiciones E, O. 4) De la falsedad de I podemos inferir la falsedad de A, pero de la verdad de I no podemos inferir el valor de verdad de A. La proposición I está con respecto a A en la relación de subalterna principal. Lo mismo sucede con O y E. 5) La verdad de “algunas repúblicas son ingratas” es compatible con la de “algunas repúblicas no son ingratas”. Cómo convenimos qué la palabra “algunos” no excluye “todos” la verdad de una no puede inferirse de la verdad de la otra, en cambio si cualquiera de ellas es falsa, la otra debe ser verdadera. Las proposiciones I, O son subcontrarias. Veamos a continuación el análisis moderno.

3.2.3.1.1. Contradictoria entre proposiciones compuestas. Con las proposiciones compuestas no siempre es fácil determinar la relación de contradicción. La contradictoria de una proposición hipotética, una disyunción o una alternativa siempre pueden enunciarse en forma de una conjunción. Por otra parte la contradictoria de una conjunción es una proposición hipotética, una alternativa o una disyunción. El teorema de Morgan: la negación (o contradictoria) de una proposición alternativa es una conjunción cuyas conjuntivas son las contradictorias de las correspondientes alternantes o dicho de otra manera la negación de una conjunción es una proposición alternativa cuya alternantes son las contradictorias de las correspondientes conjuntivas, es una relación absolutamente general. 

3.2.3.1.2. Contraria. El análisis moderno completa el análisis tradicional encontrando otros ejemplos de proposiciones contrarias por ejemplo: yo mido siete pies y yo mido seis pies; Sócrates fue el más sabio de los griegos y Platón fue el más sabio de los griegos; Colón fue el primer europeo que descubrió América y Ericson fue el primer europeo que descubrió América, son ejemplos de pares de contrarias no incluidas dentro del marco del esquema tradicional; las proposiciones generales pueden tener, a todas luces, más de una contraria. Generalmente se ha aceptado qué dos proposiciones que no sean equivalentes son mutuamente excluyentes. “Las enconadas disputas entre idealistas y realistas, revolucionarios y conservadores, evolucionistas y fundamentalistas, etc., se vieron estimuladas no solo por la suposición de que los respectivos puntos de vista eran mutuamente excluyentes, sino también por la creencia en que, demostrando que una de las partes estaba en el error, se demostraba que la otra tenía razón. Hoy se admite generalmente que estas famosas oposiciones no agotan todas las posibilidades” (Cohen y Nagel 2006, 91).

3.2.3.1.3. Subcontraria. Empecemos por unos cuantos ejemplos que amplían el esquema tradicional: “Hay una página de este libro que contiene errores de imprenta” y “hay una página de este libro que no contiene errores de imprenta”. “El hidrógeno no es el elemento más liviano” y el helio no es el elemento más liviano”. Las dos proposiciones de cada par no pueden ser ambas falsas, pero pueden ser ambas verdaderas. La relación de la subcontraria es pues muy simple, sin embargo, la historia del pensamiento muestra la poderosa tendencia a concebir hipótesis rivales como contrarias y hasta contradictorias, cuando de hecho solo son subcontrarias. Basta con considerar que las proposiciones no son universales Sino que dependen de determinadas condiciones para que ambas proposiciones sean verdaderas.

3.2.3.1.4. Superimplicación. Toda teoría mantiene con sus consecuencias lógicas la relación de principal a subalterna, es decir, de superimplicación. La lógica tradicional distinguió entre inferencia inmediata e inferencia mediata. La primera se produce cuando una proposición se infiere de una única proposición distinta de ella, y la mediata, cuando en las premisas se requieren por lo menos dos  proposiciones. Pero esta diferencia carece de importancia si dos proposiciones cualesquiera pueden combinarse en una. Debemos recordar, asimismo, que algunas formas de las llamadas inferencias inmediatas requieren suposiciones especiales para ser válidas. No existe una línea divisoria tajante entre proposiciones equivalentes que tienen el mismo significado y proposiciones equivalentes cuyo significado no es precisamente similar. No tiene mayor importancia que designemos a la contrapositiva de una proposición como inferencia inmediata de ésta o que la consideremos como su equivalente.

3.2.3.1.5. Subimplicación, Subalterna conversa. “si p representa: ”La suma de los ángulos de un triángulo isósceles es igual dos rectos" y q, "La suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual dos rectos", p es la subimplicante o la subalterna de q. En efecto si p es verdadera, nada se desprende en lo concerniente a la verdad de q, mientras que si es falsa, también debe serlo. Como veremos, un caso verificador de una teoría guarda con la teoría misma la relación de subalterna a principal. Comprobaremos asimismo que ningún número de proposiciones verificadoras relativas a una teoría puede servir para demostrarla, aunque basta un solo caso contrario -hablando en términos estrictos- para refutarla. Pero debe cuidarse mucho que los casos que parecen contrarios realmente lo sean” (Cohen y Nagel 2006, 95).

El desgarrado. Agosto 2024.