Antes de que existiera un lenguaje específicamente matemático se expresaban los problemas con las palabras del lenguaje corriente. Se les llamaba matemáticas ingenuas. El lenguaje matemático es una enorme simplificación de aquellas matemáticas ingenuas. Sin embargo -a causa de una educación insuficiente- se ha conseguido que este lenguaje se perciba exactamente como lo opuesto de lo que es: un lenguaje que complica las cosas y que hace que los estudiantes huyan como de la peste de lo que debería ser una ayuda. Es obvio que se necesita reestructurar completamente la enseñanza de las matemáticas a fin de restaurar un saber que cada vez está más alejado del conocimiento común. ¿Por qué este alejamiento. Las matemáticas -como todas las ciencias- utilizan un sistema de simplificación que lo que procura es eso: simplificar la vida para entenderla mejor. Ese sistema es la síntesis, consistente en reducir (todas sus características),            esconder), los resultados complejos en formulaciones simples desde las que se parte de nuevo como situaciones iniciales. Podemos hablar de células sin repetir sus características constitutivas, partiendo de ellas como de situaciones iniciales de por ejemplo los organismos multicelulares. ¿Que podría fallar? Pues que este mecanismo de investigación y aprendizaje supone el estricto conocimiento de lo anterior y sin él, todo el conocimiento nuevo es inútil. No se debería pasar a un nivel hasta que el previo es perfectamente comprendido y asimilado. De otra manera el nuevo conocimiento no tiene justificación alguna. Y esto pasa especialmente en las matemáticas en las que el fenómeno de la “mala escolarización” es recurrente. Y esto no solo ocurre con los estudiantes poco aplicados. También los científicos pueden estar más fijados en los formalismos matemáticos que en su estricto significado, su explicación cabal. 

Conceptos

Es evidente que la ciencia hoy utiliza conceptos de difícil o imposible explicación pero eso no justifica ni la expulsión de los que se perdieron en una explicación, ni los planes de estudio en los que no se distinguen las disciplinas aditivas (que exigen la plena comprensión de cada paso) de las descriptivas que pueden ser tomadas como historias paralelas, aunque estas últimas suelen esconder tras sus descripciones la ausencia de una estructura sólida, racional. Seguir explicando lo que ya nadie entiende es justificar el tiempo pero no el conocimiento. Estudiar es difícil, por lo que facilitar el aprendizaje es una obligación del profesorado. Cuando era niño estuve mal escolartizado debido a diversas enfermedades, Eso me llevó a que comprendiera las matemáticas de un año en el siguiente, lo que significaba que en cada curso no aprendía nada… del propio curso. Es difícil trocear los conocimientos por años porque ese troceo no coincide con las aptitudes de los alumnos ni a su ritmo de aprendizaje. La escuela “Summerhill” permitía que los alumnos estudiaran lo que quisieran (lo que les interesaba) y comprobaron que todo lo no aprendido era asumido en tiempo récord cuando el alumno estaba preparado. Ya sé que no es fácil y que requiere mayor atención que la usual (lo que no es difícil) pero el resultado fue espectacular.

Enseñar

Todos tenemos en nuestro haber una serie de conceptos que nunca comprendimos y no solo porque corresponden a “palabros” largos y complejos (hermeneútica, epistemología o dialéctica) , sino simplemente por que no comprendimos la explicación que nos dieron. Entendemos perfectamente el concepto de temperatura (cuando puede ser técnicamente muy complejo) y no comprendemos el de aceleración, cizalladura, función, o seno de un ángulo. ¿Entendemos lo que significa el número ∏, qué es una onda y más aún si es electromagnética? Todo ese desconocimiento son barreras para seguir aprendiendo. Nuestra especie inventó la acumulación de saberes por medios no genéticos y la manera de recuperarlos: la educación. Sería lastimoso que todo ese saber no fuera aprovechable porque la educación es incapaz de hacer su trabajo: enseñar. Y aún es peor cuando ni siquiera hemos alcanzado el nivel de concepto y estamos en el de lenguaje: no saber “leer” una ecuación. Cada fórmula científica tiene una explicación en palabras, explicación de la que se huye ante el pavor que produce esa demoníaca mezcla de letras, números y signos. El lenguaje científico no debería ser un idioma extranjero. Una constante es lo mismo en física que en el lenguaje cotidiano por más que se exprese: G, ∏, h, c: algo que ocurre siempre, invariante, que implica la proporcionalidad de los elementos que relaciona. Y lo mismo ocurre con una “función”, cuando decimos a nuestro hijo: “Tu paga semanal vendrá en función de tus notas”.

Divulgar

El alejamiento de la ciencia y los ciudadanos, debido a la complejidad y a la especialización, que se ha impuesto la divulgación: la explicación en términos corrientes de conceptos difíciles. Todos se atienen a un principio general: ¡ni una fórmula matemática! A veces esa limitación hace que explicaciones sencillas se conviertan en farragosas. “Explicar” el teorema de Pitágoras es mucho más difícil que escribirlo: a2 = b2 + c2. En vez de malgastar el tiempo de los profesores en sesudas exposiciones que nadie entiende ¿no sería más juicioso explicar lo justo pero exigirlo al 100%? ‘Sí, claro. Los programas de estudios implican que para pasar de curso se debe saber el 50% de la asignatura. Gracias a eso los conocimientos matemáticos de los españoles son los segundos peores de Europa -según el informe Pisa. ¿Por qué no se cambia el método? Desde que llegó la democracia a España se han sucedido siete leyes de educación. Cuando se trata de formar votantes los políticos están dispuestos a cambiar la ley del opositor tantas veces como sea necesario. ¡Con lo fácil que sería consensuar una ley en la que el adoctrinamiento estuviera ausente! La cuestión es que la educación es totalmente educación política (antaño llamada “formación del espíritu nacional”) No hemos mejorado nada. Los mismos perros con diferentes collares. 

Notación sintética y equivalencia lingüística

Voy a exponer como debería ser la enseñanza de los conceptos y la notación matemática, en el bien entendido que solo será válido si es bien entendido. Hasta entonces habrá que insistir:

Magnitud: valor numérico: A

indice= número de veces que se realiza una operación: n

Sumar= añadir magnitudes: 3+3 = 6

Restar = quitar magnitudes: 6-3 = 3

multiplicar = sumar tantas veces  como indica el índice (n) una magnitud consigo mismo: A.n = sumar A+A+A… n veces

Dividir = trocear una magnitud A en n partes iguales: A/n. La suma de esas partes iguales (trozos) es igual a la magnitud A: A/n + A/n… n veces =A. El resultado fraccionario de la división indica cuantas veces. Pero no todas las fracciones son razones (tantas partes de un todo). También se dan fracciones de cosas heterogéneas. Entonces la fracción expresa cuantas veces el denominador (una cosa) cabe en el numerador  (otra cosa).

Potenciar = multiplicar un número A por si mismo n veces. Si tratamos de expresar  la potenciación como suma la complicación es enorme pues entramos en una recursividad. Doy aquí una aplicación a números concretos para evitar dicha complicación.  3^4 quiere decir 3 elevado a la cuarta potencia.

La potenciación expresada como suma

3^1 = 3

3^2 =(3+3+3) = 9

3^3 =((3+3+3)+(3+3+3) + (3+3+3)) = 27

3^4 =(((3+3+3) + (3+3+3) + (3+3+3)) + ((3+3+3) + (3+3+3) + (3+3+3)) +((3+3+3) +                 ((3+3+3) + (3+3+3))) = 81.

Expresada como multiplicación

3^4 = 3.3.3.3 = 81

Expresado como potenciación

3^4 = 81

La simplificación es evidente: la multiplicación sintetiza una serie de sumas en una notación condensada así como la potenciación lo hace con las multiplicaciones. Este juego de muñecas rusas (recursión): potenciación>multiplicació>suma, permite simplificar la notación y la expresión, aunque parezca lo contrario.

El desgarrado. Octubre 2024.