Esta entrega es muy larga (en contra de lo que pienso que debe ser un blog). No es necesario -ni mucho menos- que la abordéis de una tacada. La numeración os facilitará la labor, pero me ha parecido que este resumen debía estar en una sola entrega.

 

Repasamos todas las simetrías que hemos ido desgranando en este apartado dedicado a la simetría. La simetría empieza por la geometría. La simetría intuitiva es una relación de igualdad mediante transformaciones espaciales tales como sucesión (seguido de…), traslación, rotación, reflexión, etc. Las matemáticas generalizaron el concepto mediante la idea de invarianza: toda transformación que deja invariante su objeto, no solo por superposición sino de forma amplia. Y mediante la generalización del objeto, que pasó de ser geométrico a cualquier cosa: ecuaciones, leyes de la naturaleza, permutaciones, fórmulas, reglas de parentesco, etc. El descubrimiento de que algunas de estas simetrías, en estos distintos campos eran isomorfas (tenían las mismas propiedades) condujo a una segunda abstracción matemática (la primera había sido la cantidad) que se llamó teoría de grupos. Curiosamente la primera abstracción lo había reducido todo a números y la segunda devolvió el estatus de “cualquier cosa” a los objetos de su estudio. Las simetrías simples (de una sola variables) se ampliaron a simetrías combinadas (de varias variables. El teorema de Noether: “toda simetría está asociada a una ley de conservación de la naturaleza” estableció una relación entre la “geometría” (una abstracción de la naturaleza con el fin de mejor comprenderla) y la física (el mundo que nos rodea), es decir, entre la mente y el mundo. Era el primer aviso de que podía existir una equivalencia entre geometría y realidad, que no parará de crecer.

 

Las simetrías que hemos tratado hasta ahora son:

 

SIMETRÍAS SIMPLES (básicas o espacio-temporales). Simetrías de una sola variable. Todas la leyes físicas son simetrías simples (invariantes ante una modificación de situación u orientación en el espacio o en el tiempo), lo que es como decir que no les afectan los cambios de coordenadas espacio-temporales.

 

1.- Simetría translacional espacial

2.- Simetria rotacional espacial

3.- Simetría translacional temporal

4.- Simetría respecto al movimiento uniforme (constante en velocidad, dirección y sentido). La velocidad es la variación del espacio con el tiempo. Pero también el movimiento uniformemente acelerado (constante en aceleración, dirección y sentido). La aceleración o impulso es la variación de la velocidad en el tiempo.

 

SIMETRÍAS COMBINADAS: simetrías de dos o más variables cuya combinación permanece invariante ante la transformación. hay dos tipos esenciales de combinación: cuando se combinan dos (o más… hasta infinitas) tarnsformaciones lo que se estudia con las tablas de doble entrada o con los grupos de Lie, y las combinaciones de más de un objeto que se compensan para conseguir una invarianza que no es a primera vista manifiesta.En la física clásica eso implica que las variables son dependientes (el valor de la una determina el valor de la otra) pero en la física cuántica el mecanismo es más sofisticado, como la aparición de un campo gauge que actúa de calibrador o compensador.

 

5.- Simetría 1 de la Relatividad einsteniana (espacio-tiempo). Invarianza de la combinación del espacio y el tiempo de modo que la composición de la velocidad de la luz con cualquier otra velocidad se mantiene constante e igual a… la velocidad de la luz (c). El espacio y el tiempo se convierten en dos variables dependientes de modo que cualquier variación en la una produce automáticamente una variación en la otra de modo que la compense y su relación sea constante (invariante): la velocidad de la luz. Este continuo espacio-tiempo (al abolir el tiempo absoluto) produce consecuencias asombrosas como la paradoja de los gemelos y la relativización del concepto de simultaneidad. Modifica la relatividad galileana (que contemplaba el tiempo absoluto) y obliga a cambiar la ley de la gravitación universal, para velocidades próximas a la de la luz, por la ley de la relatividad general de Einstein. La teoría de la gravitación de Newton queda como un caso particular (baja velocidad) de la teoría general de la gravitación.

 

6.- Simetría 2 de la relatividad einsteniana (Energía-momento). El momento es el producto de la masa por la velocidad. Los experimentos habían mostrado que el momento era una de las magnitudes físicas que se conservaban (Noether), lo que obligaba a que el momento involucrara una simetría. También se sabía que el tiempo estaba relacionado con la energía, y el espacio con el momento, lo que hizo pensar que energía y momento debían relacionarse como el espacio y el tiempo en la relatividad einsteniana. Esta nueva simetría se expresa por la fórmula: E=mc2, es decir la energía es igual a la masa multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado (o el momento por la velocidad de la luz). Como la velocidad de la luz es una constante, energía y masa (o momento) son variables dependientes que compensan sus valores para mantener su cociente constante. De acuerdo a esa simetría la masa contiene (es) energía y además,  muchísima energía, como se comprobaría con la bomba de fisión en la que la desintegración de unas partículas se transforma en energía.

 

Simetria 3 de la relatividad einsteniana. La formulación de la relatividad general (la que involucra los movimientos acelerados y por tanto la gravedad) es compleja por las matemáticas que involucra, pero simple en su interpretación: dice escuetamente que la materia-energía es equivalente a la geometría (la curvatura espacio-temporal del universo). La gravedad (una fuerza) es equivalente a una deformación del espacio-tiempo (una geometría). La metafísica deja de tener sentido. La categoría esencial deja de ser la sustancia que relega: la relación, el espacio y el tiempo a categorías accesorias; éstas dejan de ser meras comparsas para erigirse en categorías equivalentes a la sustancia (la masa en física). Pero todavía la sustancia resiste  (ahora en “simple” igualdad con las otras). ¿Es posible destronar la sustancia?

 

 

7.- Simetrias ecuacionales. Aquí no quedará más remedio que usar ecuaciones o sea que si te repelen pasa al siguiente punto… pero tú te lo pierdes. Las ecuaciones son una forma más sencilla de expresar cosas complejas… pero en otro lenguaje más incómodo. Esto no está en el texto que comentamos. La idea es que a través del análisis ecuacional se pueden descubrir las simetrías. Dado que buscamos invarianzas el camino pasa por las constantes universales que aparecen en las ecuaciones (fórmulas) de la física. Un caso simple (pero ejemplar) es la relación entre el diámetro: 2R) y el arco de circunferencia (L), que define: la constante Pi, en la conocida relación L=2R.pi. La cantidad constante por la que hay que multiplicar el diámetro para obtener el arco de circunferencia. Es una relación compensatoria obligada a que sus valores compongan el valor constante pi. Pero si ademas recurrimos a que pi es también la relación entre la superficie del círculo y su diámetro (S=R2.pi) encontraremos una relación entre la superficie y la longitud del círculo. Por decirlo con una ecuación: L/2R= S/R2= pi (constante) en donde L es la longitud de la circunferencia; R es el radio; S es la superficie del círculo. La lectura de esta ecuación nos dice que la longitud de la circunferencia y el radio son variables dependientes que se compensan para obtener siempre Pi; la superficie del círculo y el radio también se compensan, pero además la longitud y la superficie del círculo se compensan (a través del radio) para obtener siempre Pi. La transformación (la relación entre el radio y la superficie o la longitud del círculo, deja invariante su relación: pi. Pi es una constante adimensional puesto que las magnitudes (longitud y superficie del círculo) son geométricas. Estamos ante una simetría combinada de radio y longitud de la circunferencia (o superficie) que en este caso se resuelve en equivalencia (simetría).

 

La constante que analizamos ahora es la de la gravitación de Newton que mide la fuerza gravitatoria. Según la fórmula de Newton la constante (g) es igual a la fuerza de la gravedad (G) dividida por las masas (m’ y m’’) y multiplicada por la distancia (R2)  entre las masas. Por otra parte la fuerza es equivalente (igual) a la masa (m) por la aceleración (a). Veámoslo en su ecuación: G R2/m’m’’= ma= g (constante). G es la fuerza gravitatoria, R es la distancia entre las masas, m’ y m’’ son las dos masas que se atraen. Esta fórmula de la gravitación universal de Newton involucra cuatro simetrías distintas: 1) la simetría entre m’ y m’’ que son intercambiables permaneciendo invariable el resultado, 2) la simetría traslacional de las leyes de la naturaleza que resulta invariable respecto a la situación y a orientación en el espacio, lo que implica la conservación del momento, 3) La simetría traslacional respecto al tiempo que hace que las leyes de la física sean invariantes respecto al tiempo, lo que implica la conservación de la energía, 4) la aceleración debida a la gravedad y la aceleración másica resultan equivalentes tal como Einstein estableció en su principio de equivalencia, y además son independientes de la masa (la aceleración gravitatoria es igual para cualquier objeto cayendo hacia la tierra (rozamiento aparte) tenga la masa que tenga. Es decir la aceleración gravitatoria es invariante respecto al tamaño, masa y forma del objeto. Finalmente la constante gravitatoria (g)  es invariante respecto a la simetría combinada de la fuerza de atracción gravitatoria (G), la distancia (R) y las masas (m’, m’’) de los cuerpos que se atraen.

 

La siguiente constante universal es la velocidad de la luz (c)… desde la relatividad de Einstein. La velocidad de la luz es la relación entre el espacio recorrido y el tiempo transcurrido (c=e/t= constante), pero también es la relación entre la energía y la masa (c2=E/m= constante). En ambas ecuaciones el espacio-tiempo y la masa-energía son variables dependientes (su relación es una constante) y por tanto forman un continuo físico ligado. El espacio se compensa con el tiempo para mantener su relación constante y la masa se compensa con la energía por lo mismo. Pero además en esa simetría combinada e-t, m-E la geometría es simétrica de la física (la masa-energía) que es lo que nos dice la formulación de la relatividad general. Los conceptos geométricos (mentales) y los conceptos físicos (reales) son equivalentes (o simétricos)

 

Veamos otra constante universal de la naturaleza: la constante de Plank (h). La física establece que h= E/f y por otra parte que h= p.landa, siendo E la energía, f la frecuencia de la onda, p el momento (Producto de la masa por la velocidad) y landa la longitud de onda. h=E/f=p.landa lo que con poca álgebra se convierte en h=E/p= f.landa, es decir las partículas (caracterizadas por la energía y el momento son equivalentes a las ondas (caracterizadas por la frecuencia y la longitud de las ondas). Existe una simetría (combinada) entre partículas y ondas en el campo de magnitudes de la constante de Plank, que es el de la física cuántica. Y como hemos entrado en la física de lo muy pequeño (en tamaño y distancia) donde las energías son infinitesimales y las duraciones temporales extremadamente cortas, continuemos en el mundo cuántico.

 

SIMETRÍAS CUÁNTICAS

 

8.- La simetría oculta. A medida que se avanzaba en el estudio de las simetrías, éstas se hacían más y más difíciles de encontrar (resultaban menos aparentes) aunque algunos indicios las hacían candidatas e establecer simetrías consistentes.  Aquí se suscita -evidentemente- una diatriba entre nuestra mente y la realidad. ¿Estamos hablando de la realidad o estamos recreándola de acuerdo con lo que nuestra mente necesita? Esperemos que sea lo primero. Las simetrías estaban ocultas porque eran inestables y se derrumbaron (colapsaron), optaron por una opción aleatoria. ¡El azar vuelve a amenazar al pensamiento racional! La cuestión es que una simetría inestable se decidió por una de las opciones posibles de forma azarosa. Se le llama ruptura espontánea de simetría. En algún momento del desarrollo del Bing bang  las cosas eran simétricas pero en aquel proceso feroz, la simetría se perdió. Encontrar esas simetrías perdidas no resuelve la realidad actual, pero nos ayuda a encontrar una explicación. En pocas palabras: es un recurso cognitivo. La electodinámica y la fuerza débil son lo suficientemente parecidas como para ser unificadas en la teoría electro-débil, pero el fotón (partícula mensajera del electromagnetismo de masa nula) se parece poco a las partículas (W, Z) mensajeras del la fuerza débil, de gran masa. El mecanismo de Higgs resolverá el problema al decretar que la masa no es algo intrínseco de las partículas sino un  “intercambio” de partículas (la partícula o campo de Higgs). La categoría de la sustancia aristotélica, ahora sí, se tambalea.

 

9.- La simetría conjugación (simetría materia-antimateria)—paridad (reflexión especular)- inversión temporal: (CPT). Al principio se supuso que cada una de estas magnitudes era simétrica en sí misma (o que las leyes físicas eran simétricas respecto a ellas) pero los experimentos demostraron que la paridad (reflexión) no lo era para la fuerza débil. Tampoco lo era respecto a la inversión temporal. Tampoco lo era para la combinación C+P.  Pero, por lo que se sabe, si lo era respecto a la simetría combinada de las tres. La simetría CPT es una simetría de la naturaleza combinada entre C, P y T.

 

10.- La simetría de las partículas idénticas. Este concepto, que en mecánica clásica es sencillo (la igualdad remite al principio de identidad aristotélico) se convierte en la mecánica cuántica en un suplicio. Pues en la mecánica clásica la medición de una magnitud siempre nos da la misma cantidad (principio de identidad) y en la cuántica la medición nos da cada vez una magnitud distinta, solo medimos posibilidades, estamos ante una cuestión estadística (mecánica estadística). A partir de aquí el estado físico cuántico es el estado de un sistema, en un momento dado, de un sistema físico. El estado cuántico no tiene una imagen clásica explicativa (es un formulismo matemático). De alguna manera es la diferencia entre el ser (clásico) y el estar (cuántico)… si el estar, fuera una esencia (un ser), si la probabilidad fuera estructural (lo que tanto temió Einstein). Las partículas (elementales y no tanto) “son” iguales, indistinguibles, intercambiables de modo que las leyes físicas permanezcan invariantes respecto a ese intercambio. Pero tiene estados cuánticos distintos: traslación espacial y temporal (posición), espín (rotación espacial), momento (movimiento), color (sin imagen explicativa)…

 

Y esos estados cuánticos distintos dividen las partículas en dos clases: los bosones (de espín entero: mesones (0), fotones (1), gravitones (2) capaces de apilarse, amontanarse, en un mismo espacio y con un mismo momento, en lo que se llama un condensado de Bose-Einstein, y los fermiones (de espín semientero: electrones, protones, neutrones, quarks, todos de espín 1/2) sometidos al principio de exclusión de Pauli que les impide coexistir en el mismo espacio (u órbita), o con el mismo momento. Los efectos de esta distinción cuántica se manifiesta a escala macroscópica (clásica) en los superfluidos, los superconductores, el láser… lo que la hace poco discutible. Si nos pasamos al lenguaje de la función de onda cuántica (sin imagen real puesto que vive en el mundo de los números complejos) que representa el intercambio de partículas idénticas, lo único real que podemos conocer de ella es su probabilidad, obtenida elevando al cuadrado la función de onda, lo que hace desaparecer el número imaginario “i”. Pero elevarla al cuadrado quiere decir que la función onda puede ser positiva (simétrica) o negativa (antisimétrica) dado que el cuadrado de dos positivos y de dos negativos son iguales. Dado que la antisimetría es matemáticamente incoherente la única solución es que sea nula, no hay intercambio y eso es el principio de exclusión. En el caso de los bosones el intercambio es matemáticamente coherente y la coexistencia en el espacio (u órbita) y con el mismo momento es posible.

 

11. Simetrías gauge. Las simetrías gauge son las simetrías de las cuatro fuerzas de la naturaleza (gravitatoria, electrodinámica, nuclear fuerte y nuclear débil). Los campos gauge son campos que subyacen a los campos de las fuerzas (gravitatorios, electromagnéticos nucleares fuerte y débil), sometidas a transformaciones gauge. Son campos ocultos, no medibles, indeterminados, mutiformes y locales. Su existencia se infiere del teorema de Noether: si existe una ley de conservación es que existe una simetría, y la conservación de la carga eléctrica (indudable) así lo indicaba. Son simetrías combinadas. La simetría gravitatoria (geométrica) es la más reacia y la que no se ha integrado, aún, en la teoría estándar. Es una teoría relativista y deberá esperar a la unificación relatividad-cuántica. Quizás en una teoría más amplia como la de cuerdas.

 

La simetría gauge es una simetría compuesta (obtiene la invarianza por composición de dos variables, en general: la función de onda de una partícula y el campo gauge. Tanto una como otra son campos ocultos (no medibles ni observables) lo que hizo pensar que podrían componerse. Pero no sería en el marco de la física clásica sino en el de la cuántica. Veamos el mecanismo. Si tomamos un electrón -representado por su función de onda- y lo sometemos a una transformación gauge (aceleración, alteración de energía, de momento o de longitud de onda) el electrón resultante no es simétrico del original puesto que su energía, momento o longitud de onda son diferentes (no son invariantes), no hay simetría. Pero si aplicamos conjuntamente una transformación gauge y un campo gauge a la función de onda del electrón, el electrón saliente es distinto del original, pero si lo sumamos al campo gauge, se mantiene el momento, y la energía resultante de su combinación, porque el campo compensa (calibra) la función de onda del electrón, tal como el espacio y el tiempo se calibraban para fijar el valor constante de la velocidad de la luz, en la teoría de la relatividad. El campo gauge es la emisión de un fotón (el cuanto electromagnético del campo), lo que nos hace decir que la fuerza electromagnética consiste en la emisión (el intercambio) de un fotón. En el caso de la dispersión de dos electrones, la transformación gauge es la colisión y el intercambio del fotón (la aplicación del campo gauge) que deja el momento y la energía de los electrones salientes en el estado original.

 

Este mecanismo es el mismo para la fuerza de la gravedad (aunque no se ha encontrado el gravitón), la fuerza nuclear fuerte (que intercambia gluones) y la fuerza nuclear débil que intercambia bosones W y Z. En todos los casos el campo calibra la transformación obteniendo la invarianza. La simetría gauge del electrón podría equipararse a la rotación de un círculo en dos dimensiones U(1). Yang y Mills generalizaron este mecanismo para todo tipo de electrodinámicas al aplicar simetrías más complejas que la simetría U(1): simetría del círculo. El siguiente estadio era la simetría de la esfera en tres dimensiones SU(2) para la que aparecen tres campos gauge y tres fotones con carga eléctrica. Esta generalización: teoría de Yang-Mills, es aplicable a cualquier tipo (grupo) de simetría.

 

12. Supersimetría.  La teoría estándar (la teoría más seria del “todo” de que disponemos) explica muchas cosas pero no todas: no integra la gravedad con las otras tres fuerzas de la naturaleza (fuerte, débil y electromagnética); no integra el bosón de Higgs en las familias de partículas de la teoría; la materia oscura (de efectos innegables), tampoco se integra en el esquema de la materia conocida (la primera familia de quarks y leptones). Se presume que deba existir una teoría más general que sea capaz de integrar todo lo que la estándar deja fuera. Los experimentos que apoyen esta presunción no están ni estarán disponibles hasta dentro de muchos años (dada la inmensa energía que necesitan). Hechas las salvedades veamos esas presunciones. La principal es la supersimetría, que apunta a una simetría superior capaz de integrar el “todo” conocido (incluida la gravedad y el bosón de Higgs). La supersimetría nos propone una ampliación (hipotética) del espacio tiempo en las que las dimensiones accesorias pueden ser interpretadas como fermiones (es decir partículas) de espín entero. La supersimetría plantea una simetría entre partículas y s-partículas que es una transformación de bosones (de espín entero) en fermiones (de espín semientero) o viceversa.

 

Si la antimateria plantea una simetría entre partículas que tienen todos sus parámetros cuánticos iguales… menos la carga eléctrica (lo que provoca su anulación por contacto, regresando al vacío cuántico), aquí se plantea que todas las partículas tienen un superpartícula gemela (electrón/positrón, fotón/fotino, gluón/gluíno…) cuya diferencia reside en el spin (entero o semientero). Se espera que estas s-partículas sean descubiertas en el rango de energías que maneja el CERN (sobre los 175 ev). La supersimetría pertenecería a esa teoría -por encima de la estándar- que se ha dado en llamar teoría de cuerdas. De hecho no es “una“ teoría sino cientos de teorías de las que el modelo supersimétrico mínimo (MSSM) es la mejor situada (en el 2008 cuando se escribió el libro que comentamos). La teoría de cuerdas propone que lo que hoy entendemos como dualidad onda-partícula sea una cuerda vibrante a una escale miles de veces menor que aquellas. Estamos en la teoría, y la experimentación que pudiera confirmarla está muy lejos. Quedan muchas simetrías por descubrir y la simetría partícula/s-partícula (bosón/fermión) es la de la supersimetría, pero esconde otra simetría entre las dimensiones y las partículas (fermiones) que nos vuelve a poner en el borde en el que la geometría se convierte en física material.

 

13. Simetrías más allá. Pero si la simetría alcanza a la equivalencia entre la geometría y la materia (y las fuerzas) aún podemos llegar más lejos si involucramos la filosofía. ¿Es la matemática equivalente a la realidad como propuso Pitágoras (todo es número)?, ¿Es la materia (el mundo) explicable por la mente? Lo que no deja de ser que la parte engloba al todo, en contra del principio de incompletitud de Gödel. Si Brickman y Sokal en su libro “Imposturas intelectuales” despreciaron la filosofía (y todas las ciencias humanas) -en favor de la ciencia- como posibilidad de explicar el mundo, parece que las cosas no están tan claras. Nuestras “categorías” aristotélicas no sirven en la física cuántica. Desde luego la sustancia (la materia) no es la categoría fundamental. El tiempo, el espacio, la relación y la posición pueden ser tan explicativas como la materia. Quizás existe una categoría superior, pura abstracción, que es capaz de originar la materia, el tiempo, el espacio, la posición… Sabemos que la gravedad (una fuerza) es geometría (teoría de la relatividad general) y que la masa, es una interacción entre partículas (Higgs). Quizás las dimensiones espacio-temporales son partículas fermiónicas. Los fermiones podrían ser simétricos de los bosones. Las simetrías se multiplican pero lo más llamativo es que parece haber una equivalencia entre magnitudes físicas y magnitudes matemáticas. ¿Tenía Pitágoras razón y todo es número?

 

El desgarrado. Dicembre 2021.