La simetría es una forma de igualdad “especial” (parcial). Lo mismo podríamos decir del giro, de la traslación, de la homotecia o de la proporcionalidad. En general dos objetos son simétricos si comparten todas las dimensiones menos una que es de la misma magnitud pero de distinto signo. Según el teorema de Noeder toda simetría estás asociada a un principio de conservación, a una invariancia, lo que convierte a la geometría en física (y es ahí donde nos interesa). La simetría está relacionada con la teoría de grupos, de especial importancia en la determinación de la teoría unificada de la física. Por todo ello vamos a vislumbrar lo que es la teoría de grupos, pero antes debemos saber donde nos estamos metiendo.

Sabemos que una de las abstracciones fundamentales de la metafísica (el intento sistemático de comprender el mundo y actuar sobre él) es la que privilegia la cantidad sobre cualquier otra categoría aristotélica cualitativa, es decir abstrae la cantidad de entre todas las categorías, dando lugar a la geometría (las relaciones de magnitudes perceptibles), la aritmética (la teoría de números) y las matemáticas (los desarrollos ulteriores). Pero también es un método de pensamiento que parte de la abstracción y cuando asienta sus premisas, amplía el campo a lo que anteriormente había excluido, en un -a modo- de “ir por partes”. En general las “cualidades” que se añaden al esqueleto abstraído son cualidades sistemáticas que no persiguen la descripción sino la reclasificación de lo sensible: se sustituye lo descriptivo/afectivo por lo útil/sistemático. En una palabra se trata de facilitar la comprensión del mundo (aunque, de entrada la complique con un lenguaje nuevo y con conceptos abstractos). Como diría Rancière es una reconfiguración de lo sensible en aras de una mejor comprensión y sistematización del mundo.

Es así como debemos comprender las matemáticas aunque sus ejecutores no estén dispuestos a explicárnoslo. Porque una vez la abstracción realizada ya no es necesario pensar en un continuo recurrir a la realidad de la que parten y el pensamiento se convierte en un proceso “formal” al modo como la lógica abstrae la verdad (y falsedad) de lo real para convertirse en lógica formal. Es decir el significante se separa del significado… lo que le da alas. La cuestión es que las matemáticas reconfiguran el mundo de acuerdo con sus exigencias de cognición y sistematización. Las matemáticas “aplcadas” se convierten en “puras” cuando se separan completamente de la realidad. El correr del tiempo ha demostrado que la matemática “pura” no es una inversión vacía sino que acaba convirtiéndose en algo útil para la ciencia física, que la utiliza como si de una caja de herramientas se tratara. Los números imaginarios, las geometrías no euclidianas, la multidimensionalidad, etc. son ejemplos destacados. Una demostración matemática es un relato -con determinadas y estrictas leyes-pero un relato. Si las matemáticas se alejan de la comprensión popular es por comodidad de los matemáticos que “no tienen tiempo” (o talento) para di-vulgar, para hacer relatos.

Pero estoy cometiendo el mismo error que denuncio: ser demasiado abstracto. Y para evitarlo voy a tratar de explicaros la teoría de grupos, que dice que es posible encontrar puntos comunes entre realidades aparentemente separadas y disjuntas. ¿Qué tienen que ver la simetría, las permutaciones, los números y la resolución de ecuaciones?: contienen grupos de elementos que cumplen las mismas condiciones (leyes) y por tanto pueden ser incluidos en lo que se ha dado en llamar teoría de grupos. La simetría es una forma de igualdad (de similitud) -y por ello la traemos aquí-, la abstracción también es una forma de igualdad. No se pueden sumar peras y manzanas pero -en el siguiente nivel de abstracción- el de las frutas, sí podemos sumarlas porque peras y manzanas se hacen iguales cuando se las contempla como frutas. El sueño del mono loco es encontrar una teoría del todo (contra más sencilla… mejor) y eso requiere abstraer hasta que todo sea asimilable. La civilización mágico-mítica-religiosa lo llamó Dios. La metafísica busca otro candidato. Por lo tanto la teoría de grupos (que asimila grupos pretendidamente separados) responde a lo que la mente humana persigue con obsesión: la navaja suiza de Occam. Navaja que sirve para todo y de la forma más sencilla posible. Desde este punto de vista vamos a tratar la teoría de grupos y por inclusión: la simetría.

No es de extrañar que la teoría de grupos fascine a los científicos. No hay otra promesa de unificación mayor que una teoría que trata cuestiones evidentemente separadas para mostrarnos su relación (igualdad). Es el sueño de la abstracción generalizada. En la próxima entrega nos adentraremos en esta teoría fascinante. Continuará.

El desgarrado. Octubre 2021.