La teoría de grupos opera una segunda abstracción sobre la primera que supuso la cantidad. Y esa segunda abstracción consiste en encontrar que simetrías, permutaciones, teoría de números, resolución de ecuaciones y otras muchas partes de las matemáticas comparten una estructura única. De alguna manera es la “teoría del todo” de las matemáticas: la estructura subyacente a gran número de cosas que, de entrada, parecen profundamente distintas. No se trata de una igualdad aparente sino de una igualdad oculta. Empecemos por decir que un grupo es un conjunto de elementos en el que se ha definido una operación (seguido de, suma, multiplicación, etc.), elementos que pueden ser diversos: simetrías, números, permutaciones, método de resolución de ecuaciones… cosas en general, más allá del álgebra que solo trata de números. Como segunda abstracción que es, se define por unas propiedades matemáticas difíciles de traducir a características físicas: ser una ley de composición interna, tener un elemento neutro, un elemento inverso y cumplir la ley asociativa respecto a la operación definida para el conjunto. No hace falta que tratéis de haceros una imagen mental de que es éste grupo, sobre el que trata la teoría, más allá de saber que es lo que tienen en común (y no aparente) diversos colectivos. Estamos hablando de la estructura interna o de los entresijos de ciertas entidades. Si queréis una imagen, pensad que estos colectivos tienen un alma común o un esqueleto, como estructura subyacente.

Pero la abstracción no tiene límite y la propia teoría de grupos es susceptible de análisis estructurales que las ordenan, las clasifiquen, las separen de acuerdo con sus características, etc, y así, nuevas características operan nuevas abstracciones como la conmutatividad (grupos normales), la ausencia de subgrupos normales (grupos simples), el número de elementos (grupos finitos/infinitos), etc. Nos encontramos en una estructura de cebolla en la que las abstracciones se anidan en una estructura de árbol (que tanto le gusta a nuestra mente). La teoría de grupos nació de la mano de Galois que la enunció como medio para resolver la ecuación de 5º grado y que inmediatamente relacionó con la simetría del grupo de permutaciones de sus raíces (soluciones). La simetría es una transformación (giro, traslación, reflexión, deslizamiento) que deja invariante una figura (es decir, que la deja en su posición inicial). Simetría (geométrica o aritmética), igualdad (similitud, proporcionalidad), invariancia (conservación), equivalencia, isomorfismo, son conceptos que la teoría de grupos va a tratar con asiduidad.

La teoría cuántica proporcionará nuevos conceptos de simetría más allá de las simetrías continuas (rotación, traslación, reflexión, deslizamiento) y de las simetrías específicas, como las de los observadores, las leyes de la física, la simetría entre la gravedad y el sistema planetario, entre electricidad y magnetismo, o el principio de equivalencia de Einstein entre la aceleración y la gravedad. Son las simetrías Gauge entre electromagnetismo y fuerza nuclear débil o la simetría del color de la fuerza nuclear fuerte, y la simetría materia-antimateria, relacionadas con la ruptura de simetría ancestral perdida en el Big-bang. Por último la teoría de cuerdas propone la supersimetría como simetría del spin y de las s-partículas. La propia teoría de la relatividad propone una simetría (dinámica) entre los tensores de curvatura-tensor métrico, por un lado y el tensor de materia-Energía por otro: la masa-energía deforma el espacio. No trataré de explicaros todos estos conceptos porque no es el sitio, pero está bien que sepáis que existen.

La geometría era para Klein teoría de grupos. Euclides la sistematizó lógicamente, partiendo de unos axiomas (verdades indemostrables) de las que  dedujo toda una serie de consecuencias (postulados, proposiciones, teoremas). El quinto axioma (de las paralelas) pretendió ser demostrado durante siglos como consecuencia de los cuatro primeros, sin éxito, pero condujo al descubrimiento de que existían otras geometrías no euclídeas: la geometría esférica y la hiperbólica en las que no se cumplía el axioma de las paralelas. La geometría euclídea era la geometría del espacio plano. Riemann llevó la geometría aun grado más elevado de abstracción al colocarla en espacios curvados y estudiarla en más de tres dimensiones, cambió, también la perspectiva desde la que se miraba la geometría al abandonar la posición de espectador exterior e integrarse en su interior. La geometría no euclídea es hoy el lenguaje de los cosmólogos. Pero no se acaban aquí las geometrías sino que se han ampliado a la proyectiva (que no conserva las distancias), la geometría.  conforme (en la que se conservan los ángulos), la geometría diferencial (estudiada desde el cálculo), y la topología, entre otras.

Klein la planteó como teoría de grupos. En el programa de Erlangen enunció: “Hay transformaciones del espacio que no alteran en absoluto las propiedades geométricas de las figuras. Por su naturaleza, estas propiedades (geométricas) son, en efecto, independientes de la posición que ocupe en el espacio la figura que se está considerando, de su tamaño absoluto, y de su orientación”. La geometría se define, no por los objetos, sino más bien por el grupo de transformaciones que la dejan inalterada Y por tanto se aleja de la ontología: el ser, y se acerca a la categoría aridtitélica de la relación). La geometría euclídea se queda así como el grupo de movimientos rígidos (rotaciones, traslaciones, reflexiones, deslizamientos) que conservan las distancias y los ángulos. Toda geometría queda vertebrada por el grupo de simetría (el conjunto de entidades que permanecen inalteradas)… variando las transformaciones. Junto a Klein y la abstracción de grupos de Cayley, la estructuración de los grupos de Lie y las matemáticas totalizadoras de Poincaré, la teoría de grupos se consolida como pilar fundamental de las matemáticas y de la vida (objetos no numéricos). La matemática se adentra en la vida rompiendo el techo de cristal de la axiomática.

La cuestión de si existe otra forma de pensamiento que el ontológico (el ser),  basado en las categorías aristotélicas “accesorias” de la relación, el espacio, y el tiempo se empieza a vislumbrar como posible. Quizás el fin (real) de la metafísica, está cerca.

El desgarrado. Octubre 2021.