La solvencia con la que este libro se aproxima a la simetría es tan deslumbrante que no me resisto a reiniciar mi explicación guiado por este texto. Las aventura del conocer se basa en encontrar regularidades, invarianzas, constantes -a poder ser universales- que nos permitan generalizar y sostener el saber sobre el mundo, y en definitiva, controlarlo. La simetría cumple perfectamente este cometido. Las categorías aristotélicas establecen una jerarquía que magnifica la sustancia (esencia, entidad, ser) sobre todas las demás: cantidad, cualidad, relación, lugar, tiempo, posición, posesión, acción y pasión, dando lugar a la ontología. La metafísica busca la universalidad en la abstracción de la cantidad (matemáticas), del concepto (lingüística), de la verdad (lógica) y de la propia igualdad (ética-política) ademas de: en el género único (el sicoanálisis), la mercancía y el dinero (economía política). La simetría parte de las matemáticas (aunque amplía su foco, de los números, a otros campos (geometría, permutaciones, resolución de ecuaciones, etc.) en una segunda abstracción que es la teoría de grupos. Lo más llamativo es que no se centra tanto en el ser (sustancia) sino que se abre a otras categorías como la cantidad, la relación, el espacio y el tiempo o la posición. En ello reside lo que he llamado el pensamiento geométrico.

La simetría se define de forma matemática: es una transformación que deja invariante su objeto. Si a un triángulo equilátero le aplicamos un giro en su centro de 120º o una reflexión en su eje de simetría (giro de de 180º en el plano perpendicular) la resultante es el mismo triángulo equilátero: es invariante. Todo esto requiere de matizaciones. Invariante (igual) requiere delimitar las características a las que se aplica. La invarianza de la forma y el tamaño (como el triángulo) es la invarianza de la apariencia, pero si sus vértices estuvieran nombrados: A, B. C, la invarianza desaparecería. La invarianza participa de todo lo que se dijo sobre la igualdad, la identidad, la semejanza, la proporcionalidad, la equivalencia, el isomorfismo, la igualdad funcional, la constancia, etc. Existen multitud de igualdades parciales frente a la identidad… que abarca todos los aspectos. Hay muchos aspectos en que dos figuras o elementos pueden ser iguales. Una transformación es una aplicación (una función, una operación) que modifica algún (o todos) los aspectos del objeto. Las primeras simetrías (fundamentales) simples son la rotación y la traslación espacial, y la traslación temporal. Son las simetrías del espacio y del tiempo que controlan la dinámica de la interacciones físicas de la materia.

Pero no todas las simetrías son simples (fundamentales). Existen las simetrías combinadas que suponen la composición de dos o más simetrías. Una vez identificadas todas las simetrías de un triángulo equilátero podemos formar su tabla de operación (la unión, la intersección, la multiplicación, la suma, la sucesión, etc.) de dos simetrías, en el caso de que las simetrías sean discretas (finitas). Porque hay simetrías continuas (infinitas) como las de un círculo o una esfera respecto a todos los ejes diámetrales posibles, de las que no podemos hacer su tabla de operación (por ser infinitos). Las leyes físicas son invariantes respecto a las simetrías básicas (rotación y traslación en el espacio y el tiempo) y también las ecuaciones que las formalizan. Si hablamos de objetos matemáticos podemos distinguir los que se caracterizan por una cantidad (escalares), los que lo hacen, además, por su dirección y sentido (vectores) o los tensores caracterizados por múltiples parámetros o características. Las simetrías también se pueden clasificar -además de básicas o fundamentales- en funcionales, gauge o supersimetrías. Siempre que el producto final de la transformación (operación) sea igual (en el sentido que sea) que el inicial, será una simetría.

Cuando una simetría de las leyes o ecuaciones de la naturaleza (invarianza, igualdad) entre dos objetos tiene un valor fijo se llama constante. Pi es una constante aritmética (adimensional), simetría combinada entre la cuerda y el arco de un círculo. Pi es la constante que relaciona la cuerda de un arco con su longitud. Y su superficie con el radio al cuadrado. Es una constante universal en el espacio plano euclídeo. Pi=L/2R= S/R2, siendo pi la constante. La transformación/operación es la división y la longitud y el diámetro son las simetrías combinadas. Son simetrías espacio temporales de traslación y rotación. Otra constante de la naturaleza es G (la constante gravitatoria que relaciona la fuerza de atracción, las masas y la distancia a que se hallan). Las simetrías involucradas son más de las que podría parecer. En primer lugar las variables involucradas son simétricas respecto a las de traslación y rotación espacial y la traslación temporal. Por otra parte las masas son simétricas pues su intercambio no afecta al resultado (G). Finalmente la simetría combinada de las variables es constante (invariante) pues su operación se mantiene constante.

Otras constantes de la naturaleza son la velocidad de la luz que además de las simetrías espacio-temporales simples y la combinada del espacio y el tiempo añade una nueva simetría (que relaciona el tiempo y el espacio por un lado y la energía y la masa por otro originado la simetría espacio/tiempo, con la de masa/energía: el principio de relatividad) o la constante de Plank que aparte de las espacio-temporales suma la simetría onda-partícula (que relaciona la energía con el momento y la longitud de onda con la frecuencia). No se puede perder de vista que las simetrías pueden ser simples de un elemento respecto a una transformación (rotación, traslación) o combinadas de dos o más simetrías simples respecto a una transformación-operación (variables dependientes cuya operación es constante). Entre las operaciones básicas o fundamentales nos falta nombrar la simetría de las leyes físicas y las ecuaciones respecto al movimiento uniforme, menos intuitiva al involucrar la ley de la inercia: no es la fuerza la que origina el movimiento uniforme sino la que lo detiene.

El teorema de Noether relaciona toda simetría con una ley de conservación de la naturaleza y viceversa. Es decir la geometría con la ley física. ¿Qué es una ley física? Es una relación entre variables físicas… invariante. Lo asombroso es que estamos estableciendo una relación entre la geometría adimensional y las fuerzas físicas (las interacciones dinámicas de la materia), entre la geometría y la materia. A partir de aquí encontraremos otras coincidencias de la geometría con la física de la materia (la relatividad, las simetrías gauge, la supersimetría, la teoría de cuerdas… que veremos a continuación). Explicar el mundo a través de la geometría es posible. El pensamiento geométrico es posible. ¿Puede ser una onda “igual” a una partícula o una dimensión del espacio-tiempo equivalente a una partícula? Pitágoras tenía razón cuando enunció que el mundo es número. A eso vamos. En la próxima entrega veremos la relatividad y las simetrías gauge.

El desgarrado. Noviembre 2021.