He dado número a los parágrafos para evidenciar su estructura. 

2.1 Proposiciones. Una proposición es algo de lo cual es posible afirmar que es verdadera o falsa. Una proposición no es: 2.1.1) La oración gramatical que la fórmula. 2.1.2) Los símbolos que la expresan. 2.1.3) Las proposiciones que expresan deseos preguntas u órdenes. 2.1.4) Actos mentales (Juicios). 2.1.5) Objetos, cosas o sucesos concretos. 2.1.6) Certeza de su verdad o falsedad (Juicios de definición o de resolución). 2.1.7) Aparentemente estables en el tiempo.

2.2 Análisis tradicional de proposiciones.  Intensión y extensión. Toda proposición afirma o niega algo de algo (Aristóteles). Aquello respecto de lo cual se afirma algo es el sujeto; lo que se afirma del sujeto es el predicado. Ambos son los términos de la proposición cuya síntesis se produce por la cúpula (el verbo ser). Esta formulación debe cumplir la condición de que se formule algo verdadero o falso. Los términos pueden ser: denotativos o extensivos (una clase de objetos enumerable) y connotativos o intensivos (Un conjunto de atributos o características que determinan el objeto). Todas las palabras o símbolos significan ciertos atributos, excepto los puramente demostrativos (Indicativos). La intención de un término puede extenderse a: 1) la suma total de los atributos presentes, 2) los esenciales o 3) los  comunes (Intención objetiva). La intención que tiene importancia lógica es la intención convencional. 

2.2.1 Proposiciones categóricas. Las proposiciones se clasifican en categóricas y condicionales, a las que se trata de reducir a categóricas puesto que según la doctrina tradicional todas las proposiciones son analizabas de este modo y solo de él. Las categóricas pueden descomponerse en un sujeto, un predicado y una cópula. Las proposiciones que no presentan la forma canónica deben ser reducidas a ésta. El interés por la exacta clasificación de las proposiciones proviene del interés por descubrir que inferencias pueden extraerse válidamente de ellas. La reducción al modo canónicos pretende facilitar la comparación. Veamos diversos tipos de proposiciones categóricas de acuerdo a ciertas categorías 

2.2.1.1 La cantidad. Por su cantidad las proposiciones se clasifican en universales y particulares. Las universales predican algo de todos los miembros de una clase mientras que las particulares se ciñen a una parte indefinida de sus miembros. Todos y algunos son signos de cantidad. Éstos términos resultan ambiguos pues “algunos” puede significar “algunos y quizá todos”, o “algunos pero no todos”. Lo mismo ocurre en el caso de “todos” que puede significar “todos los existentes" o “todos los posibles”. También puede confundirse los términos universales con los particulares cuando el sujeto es individual (se predica algo de todo el sujeto). La lógica tradicional llama a estas proposiciones singulares.

2.2.1.2. La calidad. Respecto a la calidad las proposiciones pueden ser afirmativas o negativas. “Si concebimos una proposición categórica como una relación entre clases de individuos, será afirmativa aquella que asevera la inclusión de una clase o parte de una clase en otra, negativa la que asevera la exclusión de una clase o parte de una clase en otra” (Cohen y Nagel 1934, 50). La combinación de las proposiciones respecto a la cantidad y a la calidad se caracterizan como: A) universal afirmativa; E) universal negativa; I) particular afirmativa; O) particular negativa.

2.2.1.3. Exclusivas y exceptivas. Si lo que se predica del sujeto es exclusivo del sujeto (solo…) la proposición se llama exclusiva. Se reduce a la forma canónica categórica de la siguiente manera:" Solo los malvados son felices" es equivalente a" Todos los individuos felices son malvados”. En el caso de las exceptivas (… excepto…): “pueden fumar todos los estudiantes excepto los de primer año”, la categórica equivalente es “solo los estudiantes de primer año no pueden fumar” o “todos los estudiantes que no pueden fumar son estudiantes de primer año”.

2.2.1.4. Distribución de términos. Un término de una proposición está distribuido cuando se hace referencia a todos los individuos que denota, y no está distribuido cuando se hace referencia a una parte indefinida de ellos. (Cohen y Nagel 1934, 53). 2.2.1.4.1. El término sujeto, en las proposiciones universales (A, E), está siempre distribuido mientras que en las particulares (I, O) no lo está. 2.2.1.4.2. El predicado de las proposiciones afirmativas (A, I) no está distribuido; en el caso de las proposiciones negativas (E, O) está distribuido. Podemos resumir nuestra indagación diciendo que las proposiciones universales distribuyen el sujeto, mientras que las particulares no lo hacen. En cuanto al predicado, está distribuido en las proposiciones negativas, pero no en las afirmativas (Cohen y Nagel 1934, 53). La importancia de la distribución de los términos en la lógica tradicional es enorme.

2.2.1.5. Representación diagramática. Trata de presentar de forma gráfica intuitiva las relaciones entre proposiciones categóricas. Existen tantas como autores interesados en ellas: Euler, Venn, Frege, Peirce, etc. El contexto se introduce con el “Universo del discurso”, un rectángulo en el que las proposiciones se representan por círculos aislados o que se solapan o se incluyen definiendo cuatro campos que agotan el universo. Sea I la clase de los indigentes y O la clase de los obreros, e indiquemos con una barra superior (circunflejo) el complementario (o “negativo” como se expresa en el texto) de cada clase. Los cuatro campos son: IÔ (indigentes, no obreros), IO (indigentes ,obreros), ÎO (no indigentes, obreros) , ÎÔ (no indigentes, no obreros). Con estos diagramas se pueden expresar todos los tipos de relaciones entre proposiciones categóricas. 

2.2.1.6. Contenido existencial. Los diagramas delatan una cuestión sorprendente: “los universales no afirman la existencia de ningún individuo sino que niegan simplemente la de cierto tipo de individuos. Los particulares no niegan la existencia de nada: solo afirman que ciertas clases tienen miembros”. (Cohen y Nagel 1934, 57). Por consiguiente, la proposición universal "todos los obreros son indigentes” no significa más que eso: si algún individuo es indigente pues entonces es obrero. Visto de esta manera la proposición universal no es más que una hipótesis (en el caso de existir… afectará a todos). Todas las proposiciones universales de la ciencia son hipótesis. 

2.2.2. Proposiciones compuestas. Llamamos compuestas a las proposiciones que contienen otras proposiciones como componentes, llamadas antecedente y consecuente. Existen cuatro tipos: 

2.2.2.1. Proposición hipotética o implicativa: vincula dos proposiciones mediante la relaciones expresada por "sí… entonces”. Al afirmar la verdad de una proposición hipotética afirmamos que si el antecedente es verdadero el consecuente también lo será. Ambas proposiciones están vinculadas Modo que el antecedente no puede ser verdadero sin que lo sea también el consecuente. No puede entenderse de ninguna manera que exprese duda: “si se declara la guerra, los precios subirán”. Antecedente y consecuente pueden ser a su vez proposiciones compuestas. 

2.2.2.2. Proposición alternativa: cuando la proposición compuesta refleja una alternativa (o… o): "O todos los hombres son egoístas o desconocen sus propios intereses”. En esta proposición alternativa afirmamos que al menos una de las alternativas es verdadera. ¿pueden ser verdaderas ambas? Quizás. Entenderemos por proposiciones alternativas aquellas en la que por lo menos una de las alternativas es verdadera y quizás ambas. Usaremos el símbolo V para expresar la alternativa. 

2.2.2.3. Proposición Conjunción. Cuando la relación que une a las dos proposiciones compuestas es de vinculación la llamamos conjunción. No solo afirma la verdad en cada una de las dos proposiciones Sino también la de las dos conjuntamente. Si una de ellas es falsa la conjunción misma lo será. Expresamos la conjunción mediante un punto (.). 

2.2.2.4. Proposición disyunción. La proposición compuesta disyunción es la negación de una conjunción. Afirma que por lo menos una de las proposiciones disyuntivas es falsa, es decir no pueden ser ambas verdaderas. En el lenguaje coloquial la proposición alternativa se entiende como una disyunción, incluye la posibilidad de que ambas sean falsas. En lógica, esa posibilidad, se expresaría: “(es soltero V está casado). (es soltero . Está casado)’ En las que (‘) expresa negación: no es verdad que es soltero y no esté casado. 

Todo lo anterior puede ser expresado con la notación simbólica lógica específica:, de acuerdo a los siguientes símbolos: 

p, q, r son las proposiciones componentes y p’, q’, r’ sus negativas.

⊃ : si…entonces (implicación)

≡ : equivale a

⋀ : y

.  : y

⋁ : o

.:  : entonces (conclusión)

Las premisa (1, 2) y la conclusión (3) del razonamiento anterior serían

1. p ⊃(q⋁r): (si p entonces q ó r)
2. q’ . r: (no q y r)
3. .: p’: (no p).

2.2.3. Proposiciones simples. El significado de las proposiciones está determinados por la proposiciones simples o elementales: “Esto es una trufa”. Pero existen distintas maneras de analizar proposiciones: 1) categóricas. compuestas de sujeto, predicado y cópula: “Arquímedes era modesto”. 2) Clase: Pertenencia a una clase: “Arquímedes era matemático”. 3) Relación: “Arquímedes era un matemático más ilustre que Euclides” Ninguno de este análisis es único o excluyente.

2.2.4. Proposiciones generales. “Todos los matemáticos son lógicos avezados” no pertenece a ninguno de los análisis de proposiciones antes citados (categórico, clases, relaciones). Pertenece a un nuevo tipo cuya relación es la inclusión entre clases. Ya hemos indicado cómo se reducen estas proposiciones generales a las categóricas. Veámoslo desde otro punto de vista: en cada proposición categórica podemos sustituir el sujeto por una variable: x: “x es un matemático”. Asimismo podemos proceder con el predicado: “Arquímedes tiene la relación R con un soldado romano” (es amigo de… es pariente de…). No se trata de una proposición puesto que no se puede afirmar de ella su verdad o falsedad (hasta que no asignemos valor a las variables) pero hemos reducido la proposición a una forma única: la función proposicional. En la proposición de encabezamiento expresamos que si algún individuo es matemático también es un lógico avezado. Esto puede expresarse como una implicación entre proposiciones derivadas de funciones proposicionales, del siguiente modo: [para todos los valores de x (x es un matemático) ⊃ (x es un lógico avezado)]. Estas proposiciones son análogas a las compuestas pero se diferencian en que la relación de pertenencia a una clase no es transitiva mientras que la inclusión de clases si lo es. Los cuatro tipos de proposiciones categóricas (A, E, I, O) pueden expresarse con la nueva notación simbólica. Así la proposición categórica universal afirmativa (A): “Todos los estudiantes son pensadores independientes es equivalente a: [para todo x (x es un estudiante) ⊃ (x es un pensador independiente)]. 

El desgarrado. Agosto 2024.